自然数

为什么要学数学？

“你知道魔方一共有多少种不同的状态吗？”

标准三阶魔方，一共有 43,252,003,274,489,856,000 种不同的排列！

“篮球在飞出去之后，它会一直直线飞行吗？它是怎么飞到篮框的？”

函数与图像 球的飞行轨迹可以用一个二次函数：y = ax² + bx + c
角度与三角函数 投篮角度不同，弧线也不同；最佳投篮角度在 45° 附近。

玩《植物大战僵尸》的时候，是不是需要放植物、等阳光、还要选位置？”

资源管理（算术、时间） 阳光是有限资源，要计算阳光增长速度（例如每7秒产生一次25阳光），植物的成本是多少，什么时候种才最划算。
网格坐标（几何） 游戏地图是一个5行9列的网格，每个位置相当于一个坐标点 (x, y)。
最优策略（逻辑推理、概率） 什么时候放哪种植物最有效？后期如何提前布局？这背后是决策逻辑，和博弈论思维有关。

“《植物大战僵尸》其实是一个‘动态数学题’：你必须在有限时间里，用数学头脑来安排最强的阵型。”

怎样计数？

关键是记较大的数？

对比罗马计数和阿拉伯计数。

二进制计数法，三进制计数法，五进制，六进展，七进制

• 十进制
• 从0开始，每步跳过10个数，那么在十步以后就到达100.
• 从0开始，每步跳过100个数，那么在十步以后就到达1000.
• 从0开始，每步跳过1000个数，那么十步以后就到达100000.
• 从0开始，每步跳过一个以1开头后面有n个0的数（n是非零自然数），那么经过十步之后，我们将达到以1开头后面有n+1个0的数。

七进制

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

10 (7), 11 (8), 12 (9), 13 (10), 14 (11), 15 (12), 16 (13),
20 (14), 21 (15), 22 (16), 23 (17), 24 (18), 25 (19), 26 (20),
30 (21), 31 (22), 32 (23), 33 (24), 34 (25), 35 (26), 36 (27),
40 (28), 41 (29), 42 (30), 43 (31), 44 (32), 45 (33), 46 (34),
50 (35), 51 (36), 52 (37), 53 (38), 54 (39), 55 (40), 56 (41),
60 (42), 61 (43), 62 (44), 63 (45), 64 (46), 65 (47), 66 (48)

100 (49),101 (50)

五进制

0, 1, 2, 3, 4

10 (5), 11 (6), 12 (7), 13 (8), 14 (9),
20 (10), 21 (11), 22 (12), 23 (13), 24 (14),
30 (15), 31 (16), 32 (17), 33 (18), 34 (19),
40 (20), 41 (21), 42 (22), 43 (23), 44 (24)

100 (25),
101 (26), 102 (27), 103 (28), 104 (29),
110 (30), 111 (31), 112 (32), 113 (33), 114 (34),
120 (35), 121 (36), 122 (37), 123 (38), 124 (39),
130 (40), 131 (41), 132 (42), 133 (43), 134 (44),
140 (45), 141 (46), 142 (47), 143 (48), 144 (49)
200 (50)

四进制

0, 1, 2, 3

10 (4), 11 (5), 12 (6), 13 (7),
20 (8), 21 (9), 22 (10), 23 (11),
30 (12), 31 (13), 32 (14), 33 (15)

100 (16),
101 (17), 102 (18), 103 (19),
110 (20), 111 (21), 112 (22), 113 (23),
120 (24), 121 (25), 122 (26), 123 (27),
130 (28), 131 (29), 132 (30), 133 (31),
200 (32), 201 (33), 202 (34), 203 (35),
210 (36), 211 (37), 212 (38), 213 (39),
220 (40), 221 (41), 222 (42), 223 (43),
230 (44), 231 (45), 232 (46), 233 (47),
300 (48), 301 (49),302 (50)

三进制

0, 1, 2

10 (3), 11 (4), 12 (5),
20 (6), 21 (7), 22 (8)

100 (9),
101 (10), 102 (11),
110 (12), 111 (13), 112 (14),
120 (15), 121 (16), 122 (17),
200 (18), 201 (19), 202 (20),
210 (21), 211 (22), 212 (23),
220 (24), 221 (25), 222 (26)

1000 (27),
1001 (28), 1002 (29),
1010 (30), 1011 (31), 1012 (32),
1020 (33), 1021 (34), 1022 (35),
1100 (36), 1101 (37), 1102 (38),
1110 (39), 1111 (40), 1112 (41),
1120 (42), 1121 (43), 1122 (44),
1200 (45), 1201 (46), 1202 (47),
1210 (48), 1211 (49), 1212 (50)

六进制

0, 1, 2, 3, 4, 5

10 (6), 11 (7), 12 (8), 13 (9), 14 (10), 15 (11),
20 (12), 21 (13), 22 (14), 23 (15), 24 (16), 25 (17),
30 (18), 31 (19), 32 (20), 33 (21), 34 (22), 35 (23),
40 (24), 41 (25), 42 (26), 43 (27), 44 (28), 45 (29),
50 (30), 51 (31), 52 (32), 53 (33), 54 (34), 55 (35)

100 (36),
101 (37), 102 (38), 103 (39), 104 (40), 105 (41),
110 (42), 111 (43), 112 (44), 113 (45), 114 (46), 115 (47),
120 (48), 121 (49), 122 (50)

作业

1. 各挑一个进展，写出1-50的计数方法
2. 蓝眼睛和红眼睛的逻辑题。（100个村民，95个蓝眼睛和5个红眼睛，一个外乡人说有红眼睛的，五天后5个红眼睛的离开村子。公有知识只需要公开讨论变成了公共知识）。

1.5 比较数的大小

如果a出现在b的前面，就称b大于a,用符合表示就是 b>a

如果a>b 且 b>c, 则 a>c, 称为 “>"的传递性。

三分律：给定两个不同的自然数： a=b, a>b, 或 b>a.

加法

4+5，表示的从4开始数5步所得的自然数：4->5, 5->6, 6->7, 7->8, 8->9。

a与b的加法，写作a+b, 它表示从a 开始数 b步所得的数。数字 a + b也称 a与 b的和。

a+b+c， 从 a出发数b步到达a+b,再从a+b出发数c步到达a+b+c.

从0开始，每步跳过10个数，那么在十步以后就到达100: 100=10+ 10+....10

位值制

3728可以看成是连续记数的一个结果： 从3000开始，先数700步，再数20步最后数8步
3728=3000 + 700 + 20 +8

数轴

我们把自然数0,1,2，...等同于这条轴上的一些等距点（即联系点之间的距离是相等的）。自然数就被等同于直线上0点右侧的这些等距点。
一条标有自然数的直线成为数轴。

从0到1的线段记作[0,1],称做单位线段，数1称做数轴的单位。

给定数轴两个点a,b,其中a点在b点的左边，我们用[a,b]来表示a与b之间的线段，a和b是[a,b]的断点。

加法就是拼接而成的线段。

=号

同一个自然数或在数轴上完全重合的点。

1.6 乘法和数的展开式

3 X 5=定义 5+5+5

如果m,k是自然数，mk(公认的mxk的简单记法）的定义是： mk=0(m=0)或k+k+...+k（m个k）相加。

3 x 5 x 8 （乘法也是从左到右计算，先计算3x5得15，再计算15x8得到120）

10 x 1000..0（n-1个0）= 10....0（n个0）

10n次方=定义10x10x...x10(n个10相乘)，n称为10的幂或指数，10n读做 10的n次幂。熟练把任何一个自然数展开成指数相加的形式

10的（m+n)次幂=10m次幂 x 10的n次幂

1.7 面积

正方形的边长为1，就称之为单位正方形。

任意一个长方形的面积就定义为要铺满它所需的正方形的个数。

乘积mn（其中m和n是自然数）表示竖直边为m, 水平边为n的长方形的面积。

作业

1. 乘法口诀
2. 逻辑题：公平分蛋糕。
3. 世界上的许多纷争，都来源于“不公平”和嫉妒心。
4. 不公平：自己应得的没有得到
5. 嫉妒心：自己没得但其他人得到了，或自己得到了应得的，但其他人得的的更多。
6. 两人分蛋糕，我切你选。
7. 三人分蛋糕呢？

第三课时

基本运算规律

什么是等于号？
加法的交换律和结合律？
乘法的交换律和结合律？
分配律？

运算法则

进行多位数计算时，把计算过程分解成许多步，使得每一步（解释合理的话）都至涉及一位数的计算。

加法：两个数相加，先把它们从各位起自右向左对齐，然后按列对应求和。（竖式成立，一位数加法熟练+位值制）--从右向左，不是从左到右

乘法的运算法则：两个一位数的乘法；任意一个数与一个一位数的乘法；任意两个数的乘法。

作业1：计算二进制下的 1011101+1101101，1011101x1101101; 八进制下的：1234567+7654321,1234567x7654321

作业2：零知识证明（阿里巴巴与四十大盗：颜色门？9*9 的数独）

1 2 | 3 4
3 4 | 1 2
————+————
2 1 | 4 3
4 3 | 2 1

第四课时

什么是减法？如何用数轴介绍减法？

分配律对减法是否成立？ k(m-n)=km-kn 面积

减法的运算法则？ 借位。

什么是除法？--从乘法的角度看待除法，应用举例（速度，路程；面积，边长）

为什么0不能作为除数？

带余除法？

什么是长除法？

估计的意义？气温——穿衣服
估计的方法：四舍五入？
绝对误差与相对误差？

什么是数？--古代计数，不是实体，而是抽象。
自然数是否够用了？

作业1： ½ + ⅓
作业2： 5个海盗分100个金币（规则：A先提出分配方案，半数及半数以上同意，方案通过否则提方案的人就要被投海喂鲨鱼；则下一个分配者，知道分配结束；每个海盗都是聪明且贪婪的，最终的分配方案是什么？）

第五课时

分数的基本定义？
抽象单位“1”的重要性---数轴上面的1.
什么是小数？（十进制的小数）
什么是等价分数？a/b=n/m; cm/cn=m/n

作业：
1）证明 a/b=ma/mb
2）100瓶药水里面只有一瓶有毒，一次性最少用多少个小白鼠可以测试出来哪一瓶有毒？ 二进制，7瓶

第六课时

作业：1块饼切4刀，最多能分多少份？（11）；1个西瓜呢，最多能分多少份？（15）

第7课时

比较分数的大小？
最小公倍数
分数的加法？
带分数（22/5===4 ⅖)
小数的加法？

分数的减法？
小数的减法

分数的乘法： m/n * k/l = mk/nl ? 矩形面积： 第一步： 1/n * 1/l = 1/nl (一共有nl份) ； 第二步：m/n * k/l 拼接平铺（mn 份 1/nl)

分数的除法：如果A、B是分数（B≠0），A除以B记为 A/B,它定义一个分数 满足A=（A/B)B
小数的除法

百分数 N%，2%

作业1： 说明 3/7 * ⅚ =18/35
作业2：1）围绕1块钱硬币周围最多可以摆放多少个硬币？2）大圆周上面比赛摆放1块钱硬币，先摆的赢？3）三张正面硬币，每次翻两张，翻多少次可以全部翻成背面。

第8课时： 有理数

自然数和分数是否代表了数轴上任意一个数？
0右侧的点都存在数镜面对称的点？正数，负数 0*=0 X**=X
那正数和负数的集合就是有理数？
既然有有理数，那应该就有无理数？第一次数学危机？必达哥斯拉三元组345（勾股定理）。实数，虚数。
有理数的加加减法？引入向量的定义，向量是有长度和方向的线段。
向量的加法？x+y,滑动向量y的起点到向量x的终点。向量和向量相加结果还是向量。
向量加法满足交换律和结合律吗？

能否通过向量的加法来定义有理数的加法呢？ x+y =定义 向量x+向量y的终点。

以加为减？ x+x*=0 x*=-x 那是不是2* 记为 -2更合适？ -起名叫负号。

所以 (-x)*=-(-x)=x

有理数的减法呢？ x-y=定义 向量x+向量y (x-y,相当于)即 x+(-y)

(x+y+z)-(a+b+c)=(x+y+z)-a-b-c=(x-a)+(y-b)+ (z-c)
-(x+y)=-x-y -(x-y)=-x+y

有理数的乘法？基本假设有理数乘法满足xy和分数方式(交换律，结合律和分配律），且1*x=x, 0*x=0
x,y为整数：（-x)(-y)=xy? 负负得正。 证明 (-1)(-1)=1=Z (-1)+z=(-1)+(-1)(-1)=1(-1)+(-1)(-1)=0*(-1)=0,则z=1
那(-2)(-3)=6呢？
-2=-(1+1)=(-1)+(-1) -2*-3=((-1)+(-1))((-1)+(-1)+(-1))=6个(-1)(-1)=6
先证明(-1)(-n)=n -n=n个(-1)相加，再用分配律。
再证明（-m)(-n)=m个（-1） 乘以 （-n)= m个 (-1)(-n)= m个n = mn

那xy为有理数呢？ st, (-s)t s(-t) (-s)(-t)
证明 (-1)x=-x 即x+(-1)x=0 分配律 (1+-1)*x=0
(-s)t=((-1)s)t 结合律 (-1)st=-(st)
(-s)(-t) 结合律 (-1)(-1)st=st

有理数的除法呢？

作业1：计算 (3+⅖)(-4)(-2/9)-(-3)÷（-½)
作业2：6个小球里有一个次品，重量和其他5个球不同，用一个没有砝码的天平，最少称几次，才能保证找到这个次品，并且区分出次品是轻还是重？ 如果是12个球呢？